Problemas.

Problemas  del método de líneas de espera de un solo canal. 

Problema 1

Suponga que en una estación con un solo servidor llegan en promedio 45 clientes por hora, Se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora. Se sabe que los clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola. Se solicita: 

1. Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema. 
2. Número promedio de clientes en la cola. 
3. Número promedio de clientes en el Sistema en un momento dado.

Solución:

λ= 45 clientes/hora (media de llegada de los clientes)= 45/60 clientes/minutos. 

µ= 60 clientes/hora (media de servicio a los clientes) = 60/60 clientes/minutos. 

Wq = 3 minutos (tiempo promedio de espera de un cliente en la cola).

 1. 

En promedio un cliente pasa 4 minutos en el Sistema: distribuidos así 3 minutos pasa           esperando en la cola + 1 minutos en servicio. 

2.

Puede haber más de dos clientes en la cola. 

3. 

 Promedio hay tres clientes en el sistema, como se nos ha dicho que solo hay un             servidor, sabemos que solo un cliente puede estar en servicio, por lo que los demás        deben estar en la cola. Esto indica que hay dos clientes en espera.

Problema 2

Suponga un restaurante de comidas rápidas al cual llegan en promedio 100 clientes por hora. Se tiene capacidad para atender en promedio a 150 clientes por hora Se sabe que los clientes esperan en promedio 2 minutos en la cola Calcule las medidas de desempeño del sistema. 

1. ¿Cuál es la probabilidad que el sistema este ocioso? 
2. ¿Cuál es la probabilidad que un cliente llegue y tenga que esperar, porque el sistema está ocupado? 
3. ¿Cuál es el número promedio de clientes en la cola? 
4. ¿Cuál es la probabilidad que hayan 10 clientes en la cola? 

Solución: 

λ= 100 clientes/hora (media de llegada de los clientes)= 100/60 clientes/minutos. 

µ= 150 clientes/hora (media de servicio a los clientes) = 150/60 clientes/minutos. 

Wq = 2 minutos (tiempo promedio de espera de un cliente en la cola).

1.

Este porcentaje representa tiempo que el sistema está ocupado. Es decir (1- ρ) representa el tiempo ocioso del sistema, es decir 1- 0.667= 0.333 = 33.3% el sistema permanece ocioso.

2.

Es decir existe un 22.2% de posibilidad que haya un cliente en la cola esperando ser atendido. 

3.

Es decir existe la posibilidad de llegar a tener un promedio de 4 clientes en la línea de espera.

4.

Problema 3

Un promedio de 10 automóviles por hora llegan a un cajero con un solo servidor que proporciona servicio sin que uno descienda del automóvil. Suponga que el tiempo de servicio promedio por cada cliente es 4 minutos, y que tanto los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicios son exponenciales. Conteste las preguntas siguientes: 

1. ¿Cuál es la probabilidad que el cajero esté ocioso? 
2. ¿Cuál es el número promedio de automóviles que están en la cola del cajero? (se considera que un automóvil que está siendo atendido no está en la cola esperando) 
3. ¿Cuál es la cantidad promedio de tiempo que un cliente pasa en el estacionamiento del banco, (incluyendo el tiempo de servicio)?
4. ¿Cuántos clientes atenderá en promedio el cajero por hora? 

Solución:  

λ= 10 clientes/hora (media de llegada de los clientes) = 1/6 clientes/minutos 

µ= 1 clientes/4minutos (media de servicio de los clientes)=1/4 cliente/minuto

1.

2.

3.

4.

Si el cajero siempre estuviera ocupado, atendería un promedio de μ=15 clientes por hora. Según la solución encontrada en el inciso a (1/4*60=15), el cajero está ocupado 2/3 del tiempo. Por tanto dentro de cada hora, el cajero atenderá un promedio de (2/3)(15)= 10 clientes. Esto es ρ*µ= 2/3 * 15 = 10 clientes.

Problema 4

Un lava carro puede atender un auto cada 5 minutos y la tasa media de llegadas es de 9 autos por hora. Obtenga: 

1. Las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1. Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema.
2. La probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes.

Solución: 

λ= 9 clientes/hora (media de servicio a los clientes) = 0.15 clientes/minutos 

µ= 0.2 clientes/minutos (media de llegada de los clientes)

1.

Calcular el factor de desempeño del sistema calculando ρ.

El sistema está ocupado el 75% del tiempo. O sea pasa un 25% ocioso. Es decir la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema es cuando el sistema está vacío y eso puede ocurrir con una probabilidad del 25%. 

2.

La probabilidad que haya más de tres clientes en el Sistema, implica que debemos conocer la Probabilidad que haya cero, uno, dos y tres clientes. La diferencia con 1. Será la probabilidad que hayan más de tres. P(Ls>3)=1 – (P 0 + P1 + P2 + P3 )= 1- (0.25+0.1875+0.1406+0.1055)=1- 0.6836=0.3164.

Problemas  del método de líneas de espera multicanales. 

Problema 1

La gerencia del correo internacional DHL en la central del barrio de Mataderos, Buenos Aires, está preocupada por la cantidad de tiempo que los camiones de la compañía permanecen ociosos, en espera de ser descargados. Esta terminal de carga funciona con cuatro plataformas de descarga. Cada una de éstas requiere una cuadrilla de dos empleados, y cada cuadrilla cuesta $30 por hora. El costo estimado de un camión ocioso es de $50 por hora. Los camiones llegan a un ritmo promedio de tres por hora, siguiendo una distribución de Poisson. En promedio, una cuadrilla es capaz de descargar un semirremolque en una hora, y los tiempos de servicio son exponenciales. ¿Cuál es el costo total por hora de la operación de este sistema?.

Solución:

La utilización promedio de las cuatro plataformas es:

Para este nivel de utilización, ahora podemos calcular la probabilidad de que no haya ningún camión en el sistema.

El número promedio de camiones en la fila es:

El tiempo promedio de espera en la fila es:

El tiempo promedio transcurrido en el sistema es:

Por último, el número promedio de camiones en el sistema es:

Ahora podemos calcular los costos por hora correspondientes a mano de obra y camiones ociosos:

Problema 2

Considere una línea de espera con dos canales con llegadas POISSON y tiempos de servicio exponenciales. La tasa media de llegadas es de 14 unidades por hora y la tasa media de servicio es de 10 unidades por hora para cada canal.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya unidades en el sistema?
2. ¿Cuál es la cantidad de unidades promedio en espera?
3. ¿Cuál es el tiempo promedio que espera una unidad por el servicio?

Solución:

1.

2.

3.

Problema 3

Una sucursal bancaria estima que la tasa de llegada de clientes (siguiendo una distribución de Poisson) es de 30 clientes/hora. En el momento de observación del fenómeno a estudiar hay solo una ventanilla abierta al público y el tiempo de servicio está distribuido exponencialmente con media 115 sg/cliente. Determinar:

a) Número medio de clientes en el sistema y número medio de clientes en espera.

b) Tiempo medio de espera y tiempo medio de permanencia en la sucursal.

c) Ante la vista de los resultados en los apartados anteriores se decide abrir una segunda ventanilla al público. Repita los cálculos realizados.

Solución:

Problema 4

Un cyber-café mantiene 8 terminales disponibles durante 8 horas al día. Se considera que llegan al local (siguiendo un proceso de Poisson) una media de 24 clientes diarios y el tiempo medio de servicio (distribución exponencial) es de 4 horas. Cuando un cliente encuentra todos los puestos ocupados, abandona el local.
a) Calcular la probabilidad de que estén los 8 puestos ocupados. Calcular la probabilidad de que al llegar un nuevo cliente tenga algún sitio disponible.

b) ¿Número mínimo de máquinas para que la probabilidad de que un cliente abandone el local (todos puestos ocupados) no sea superior al 10 %?

c) Conteste de nuevo a los apartados anteriores si el tiempo medio de servicio se reduce a la mitad.

Solución:

Bibliografía

http://www.hopelchen.tecnm.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r131671.PDF

file:///C:/Users/Usuario1/Downloads/unidad_5_lineas_de_espera_investigacion.pdf

https://www.gestiopolis.com/modelo-de-linea-de-espera-y-programacion-lineal/

https://idus.us.es/bitstream/handle/11441/77595/Esteban%20Vel%C3%A1zquez%20Gabriel%20TFG.pdf?sequence=1&isAllowed=y

https://www.economicas.unsa.edu.ar/mcneco/archivos/04_Lineas_Espera.pdf

https://jrvargas.files.wordpress.com/2009/01/problemas-resueltos-de-teorc3ada-de-colas.pdf

http://investigaoperativa1.blogspot.com/p/teoria-de-colas.html

http://agamenon.tsc.uah.es/Asignaturas/ittst/rc1/download/T2/Tema2Problemas.pdf

REALIZADO POR:

Sarahi Arteaga Castañeda 

Ariana Medrano López 

Formulario

 Modelo de líneas de espera en un solo canal 

Supuestos:

*La línea de espera tiene un solo canal

*El patrón de llegada sigue una distribución de probabilidad Poisson. 

*Tiempo de servicio sigue una distribución de probabilidad exponencial.

*La disciplina del servicio es (FIFO) primero en entrar primero en atender. 

Características operativas:

λ= Cantidad promedio de llegadas por periodo (tasa de llegadas).

µ= Cantidad promedio de servicio por promedio (tasa media de servicio).

Probabilidad de que no haya unidades en el sistema

Numero promedio de unidades en la fila de espera (tamaño de la fila).

Numero promedio de unidades en el sistema (tamaño total).

Tiempo de espera promedio que una unidad pasa en la línea de espera.

Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema.

Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar para obtener servicio.

Probabilidad de que haya unidades en el sistema.

Modelo de líneas de espera multicanal.

Suposiciones

*La línea de espera tiene 2 ó más canales (servidores).
*El patrón de llegadas sigue una distribución de probabilidad POISSON.
*Tiempo de servicio de cada sigue una distribución de probabilidad exponencial.
*La disciplina del servicio es (FIFO) primero en entrar primero en atender.
*La tasa promedio de servicio µ, es la misma para todos los canales.
*Las unidades que llegan aguardan en una sola línea de espera y después pasan al primer canal libre para obtener servicio.

 

Características de operación

λ= Tasa promedio de llegadas al sistema
µ= Tasa promedio de servicio para cada canal
k = Número de canales
kµ= Tasa promedio de servicio para el sistema de canales múltiple

Distribución de Poisson.

 P(x): Probabilidad de x arribos 

 x: número de arribos por unidad de tiempo 

 λ: tasa media de llegada 

 e = 2,71828… 

Distribución Exponencial.

 P: Probabilidad que el servicio sea menor o igual a t 

 μ: tasa media de servicio 

 e = 2,71828…

Utilidad promedio del sistema.

Probabilidad de que cero clientes estén en el sistema.

Probabilidad de que haya n clientes estén en el sistema. 

Numero promedio de clientes en la fila de espera. 

Tiempo promedio de espera en la fila. 

Tiempo promedio transcurrido en el sistema, incluido el servicio.

Tiempo promedio de clientes en el sistema de servicio.

Análisis de costos.

Las colas o filas de espera representan un fenómeno habitual de la actividad diaria de cada uno de nosotros. Se hace cola en el correo, en el banco, en la caja del supermercado. Se producen largas filas de vehículos en las rutas y calles congestionadas, o simplemente ante un semáforo. También aparecen, aunque no resultan tan visibles, en las comunicaciones telefónicas, en la lista de expedientes a tramitar, en los talleres de reparaciones. Son colas en las que no aparecen personas, pero también hay esperas. En las organizaciones, este tipo de problemas se estructura básicamente como la igualación de la demanda de un servicio con la provisión de ese mismo servicio.
Nos vamos a referir a las entidades que esperan la provisión del servicio como clientes, Asimismo, un servidor es cualquier persona o dispositivo que brinde el servicio. Se trata de resolver situaciones referentes a la capacidad que se debe disponer para atender la demanda. Agregar más servidores, o disminuir el tiempo que se utiliza para brindar el servicio se resuelve mediante el agregado de personal y equipo, pero esto implica mayores costos. Por otra parte, una capacidad limitada produce colas más largas y disgustos con los clientes. Como todas estas consideraciones deben ser ponderadas al tiempo de tomar decisiones, las consecuencias de cada acción deben ser computadas adecuadamente.
Un lugar donde se forma una fila simple frente a uno o más servidores se denomina estación. En casos complejos, un cliente que recibe el servicio en un servidor, se puede trasladar a otra cola en otra estación.

La estructura de un sistema de colas

El estudio matemático de estos sistemas es bastante extenso, y se han desarrollado numerosas fórmulas que ayudan a estimar las características de las filas de espera. Estos análisis se deben basar en un conocimiento preciso de la estructura del sistema y de cómo interactúan sus partes. Los componentes que es preciso conocer son los siguientes.

La población de entrada: También llamada Capacidad del Sistema, es el número máximo de clientes potenciales, que pueden solicitar el servicio. Si un cliente llega, y el sistema está lleno, por haberse colmado su capacidad, se le negará la entrada. O sea que no recibirá servicio. Si el sistema no tiene límite, se dice que la población es infinita. Como no puede considerarse una población infinita si el número de clientes no es muy grande, como en el caso de un taller de reparaciones, en estos casos es preferible ingresar el tamaño exacto de la población.

El proceso de llegadas: Se tiene que describir matemáticamente la manera en que se producen los arribos de los clientes al sistema. Esto puede ser especificado como el tiempo entre llegadas, que es el tiempo que transcurre entre un cliente y otro sucesivo que llegan a demandar el servicio. Esto será determinístico si se conoce el tiempo exacto que transcurre entre un arribo y otro, o aleatorio, cuya distribución probabilística se considera conocida. Si se trata de arribos absolutamente aleatorios, se supone que responden a una distribución de Poisson.

La línea de espera: La cola que se forma mientras se espera el servicio puede suponerse infinita cuando puede extenderse tanto como se quiera. Si hay una sala de espera o equivalente, la línea es finita y depende de la capacidad de esa sala. Se asume que si alguien llega y encuentra la sala llena se retira y no recibirá el servicio. Se recomienda no tomar literalmente los términos “sala de espera”, “llegadas” o “línea de espera”. Los clientes pueden ser un conjunto de piezas de una máquina en el suelo, esperando que se arme el conjunto. Obsérvese que en este caso el que llega es el servidor y no el cliente, pero el modelo de colas se puede usar igualmente.

La disciplina del sistema: Es el orden en que se atienden a los clientes. Generalmente se asume que el primero en llegar es el primero en atenderse (FIFO o PEPS).

La cantidad de servidores: Puede ser cualquier número entero. Se asume que todos los servidores son idénticos y en paralelo, o sea que el cliente puede ser atendido de la misma manera por cualquiera de ellos.

La distribución del tiempo de servicio: Depende del tiempo que le tome a un servidor atender a un cliente. Se define de la misma manera que el proceso de llegadas, como determinístico o aleatorio, siguiendo una determinada distribución de probabilidad. Puede depender del número de clientes en el sistema o ser independiente del estado. Generalmente se asume que el servidor atiende completamente a un cliente, aunque podría tratarse de un servicio donde el cliente debe ser atendido por una secuencia de servidores

Modelo Poisson.

Para una única variable independiente X, es un modelo de la forma: o, para simplificar la notación donde ln significa logaritmo neperiano, a0 y a1 son constantes y X una variable que puede ser aleatoria o no, continúa o discreta. Este modelo se puede fácilmente generalizar para k variables independientes:

Por lo tanto a0 es el logaritmo de l (probabilidad de que ocurra un evento en un intervalo de tamaño unidad) cuando todas las variables independientes son cero, y ahí es el cambio en el logaritmo de l (o logaritmo del cociente de l) cuando la variable Xi aumenta una unidad, manteniéndose constantes las demás o, dicho de otro modo, es la probabilidad de que ocurra un evento en un intervalo unidad cuando todas las variables independientes son cero y l el cociente de dicha probabilidad para un aumento de una unidad en la variable Xi (riesgo relativo).

Obsérvese que, al igual que en la regresión logística, el modelo supone efectos multiplicativos, es decir, si la variable Xi aumenta n unidades, la probabilidad para la variable de Poisson se multiplica por es decir, la potencia n-ésima

Definición: Sea n la variable aleatoria discreta que mide el número de clientes que llegan a un sistema de líneas de espera, entonces la probabilidad de que  n = k está dada por:

Teorema. La esperanza matemática y la varianza de esta función de distribución está dada por:

E(n)= λ t

V(n)= λ t

La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.

Propiedades

La función de masa de la distribución de Poisson es donde k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces).

λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.

Modelo Poisson Un servidor.

Cálculos en los modelos de colas

(M/M/1) :(DG /∞/∞). Con la notación del modelo generalizado se tiene que

µn= µ⅄ {n= ⅄}, n=0, 1, 2,…

También, ⅄n= ⅄ y ⅄perdido=0, porque todos los clientes que llegan, pueden entrar al sistema. Si P= ⅄µ, la ecuación de Pn en el modelo generalizado se reduce entonces a

Para determinar la P0 se usa la identidad

Suponiendo que p < 1, la serie geométrica tiene la suma finita de, y entonces La fórmula general de Pn es entonces de la siguiente distribución geométrica:

La deducción matemática de Pn impone la condición que p < 1 o que ⅄ < µ. Si ⅄ >= µ, la serie geométrica no converge, y no existirán las probabilidades Pn de estado estable. Este resultado tiene sentido, intuitivamente, porque a menos que la tasa de servicios sea mayor que la frecuencia de llegada, la cola crece en forma indefinida.

Modelos Poisson Múltiples servidores.

El modelo de múltiples servidores, los clientes forman una sola fila y escogen, entre servidores, aquel que esté disponible. El sistema de servicio tiene una sola fase. Partiremos de las siguientes suposiciones, además de las que hicimos para el modelo con un solo servidor: tenemos s servidores idénticos, y la distribución del servicio para cada uno de ellos es exponencial, con un tiempo medio de servicio iguala 1/µ . Con estas suposiciones, podemos aplicar varias fórmulas a fin de describir las características de operación de servicio:

Proceso de nacimiento o muerte.

La mayor parte de los modelos elementales de colas suponen que las entradas (llegada de clientes) y las salidas (clientes que se van) del sistema ocurren de acuerdo con un proceso de nacimiento y muerte. Este importante proceso de teoría de probabilidad tiene aplicaciones en varias áreas. Sin embargo, en el contexto de la teoría de colas, el termino nacimiento se refiere a la llegada de un nuevo cliente al sistema de colas, mientras que el termino muerte se refiere a la salida del cliente servido. El estado del sistema en el tiempo t (t ≥ 0), denotado por N (t), es el número de clientes que hay en el sistema de colas en el tiempo t. El proceso de nacimiento y muerte describe en términos probabilísticos como cambia N (t) al aumentar t. En general, sostiene que los nacimientos y muertes individuales ocurren de manera aleatoria, y que sus tasas medias de ocurrencia dependen del estado actual del sistema. De manera más precisa, los supuestos del proceso de nacimiento y muerte son los siguientes: 

Supuesto 1. Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro λn (n 5 0, 1, 2,. . .). 
Supuesto 2. Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la próxima muerte (terminación de servicio) es exponencial con parámetro µn (n = 1, 2,. . .). 
Supuesto 3. La variable aleatoria del supuesto 1 (el tiempo que falta hasta el próximo nacimiento) y la variable aleatoria del supuesto 2 (el tiempo que falta hasta la siguiente muerte) son mutuamente independientes. La siguiente transición del estado del proceso es

n → n + 1 (un solo nacimiento) 

o 

n → n - 1 (una sola muerte),

Lo que depende de cuál de las dos variables es más pequeña. 
En el caso de un sistema de colas, λn y µn representan, respectivamente, la tasa media de llegada y la tasa media de terminaciones de servicio, cuando hay n clientes en el sistema. En algunos sistemas de colas, los valores de las λn serán las mismas para todos los valores de n, y las µn también serán las mismas para toda n excepto para aquella n tan pequeña que el servidor este desocupado (es decir, n = 0). Sin embargo, las λn y las y µn también pueden variar en forma considerable con n para algunos sistemas de colas.

Por ejemplo, una de las formas en las que λn puede ser diferente para valores distintos de n es si los clientes potenciales que llegan se pueden perder (rechazar la entrada al sistema) con mayor probabilidad a medida que n aumenta. De manera similar, µn puede ser diferente ante valores distintos de n debido a que existe una mayor probabilidad de que los clientes renuncien (se vayan sin haber sido servidos) a medida que aumenta el tamaño de la cola. Uno de los ejemplos de la sección. 

Ejemplos resueltos del sitio en internet de este libro ilustra un sistema de líneas de espera donde existe tanto perdida como renuncia. Entonces, este ejemplo demuestra como los resultados generales del proceso de nacimiento y muerte generan de manera directa varias medidas de desempeño de este sistema de colas.

Distribución de llegadas.

Definir el proceso de llegada para una línea de espera implica determinar la distribución de probabilidad para la cantidad de llegadas en un periodo dado. Para muchas situaciones de línea de espera, cada llegada ocurre aleatoria e independientemente de otras llegadas y no podemos predecir cuándo ocurrirá. En tales casos, los analistas cuantitativos has encontrado que la distribución de probabilidad de Poisson proporciona una buena descripción del patrón de llegadas. La función de probabilidad de Poisson proporciona la probabilidad de x llegadas en un periodo específico. La función de probabilidad es como sigue: 

P(x)= μ x e^-λ/ x! Para x= 0, 1,2,…

Terminología y Notación.

Un problema de líneas de espera se forma cuando los clientes llegan a una estación a solicitar un servicio. Si el tiempo de atención es mayor al número de clientes que llegan a solicitar el servicio, entonces se forma una línea de espera. Algunos ejemplos de líneas de espera son:

• La llegada de llamadas telefónicas a un conmutador de un hospital.
• La llegada de equipos electrónicos al área de control de calidad dentro de un  fábrica.
• La llegada de trabajos a la cola de impresión en una computadora.
• La llegada de pacientes a un consultorio.
• La llegada de operaciones computacionales a un microprocesador.

Un sistema de líneas de espera se forma por:

Clientes: que llegan a solicitar un servicio.

Filas: que forman los clientes para esperar el servicio.

Estaciones de servicio: que atienden a los clientes, los cuales después de ser atendidos salen del sistema.

Existen sistemas de líneas de espera que están formados por una sola fila y una sola estación de servicio, por ejemplo, la llegada de operaciones al microprocesador en una computadora. Otros pueden estar formados por varias filas y varias estaciones de servicios, por ejemplo: las computadoras que tienen varios microprocesadores conectados en paralelo. O bien, en algunos centros de atención telefónica existe un único número telefónico y las llamadas se distribuyen al operador que esté desocupado. En este caso existen varios centros de servicio pero se forma una sola fila. En otros centros se dispone de diferentes números telefónicos, con lo cual se forman diferentes filas en cada uno de ellos. Existen varias combinaciones posibles, las cuales estudiaremos más adelante. Para poder analizar los modelos de líneas de espera, es importante definir la terminología que vamos a utilizar.

Los parámetros más importantes de una línea de espera son:

1. Tasa de llegada. Es el número de clientes que llegan a solicitar el servicio. Esta tasa puede ser determinística o probabilística. Si es probabilística, se debe determinar la función de distribución de probabilidades que la modela. Por ejemplo: La llegada de llamadas a un conmutador, la llegada de operaciones al microprocesador de la computadora, la llegada de trabajos de impresión a una computadora, etc.

2. Tasa de servicio. Es el tiempo que se tarda el cliente en la estación de servicio. Este tiempo, al igual que la tasa de llegada, puede ser determinístico o probabilístico. Si es probabilístico, se debe determinar la función de distribución de probabilidades que lo modela. Por ejemplo: El tiempo de atención del conmutador a una llamada, el tiempo que dura un despachador en llenar el tanque de gasolina de un automóvil, el tiempo que tarda el microprocesador en realizar una operación, el tiempo que tarda la impresora en imprimir un archivo, etc.

3. Número máximo de clientes en la fila. Si consideramos que la fila puede crecer infinitamente, entonces no debemos poner restricciones en cuanto a la cantidad de clientes en la fila, de otra manera debemos construir un modelo que tome en cuenta que al llegar a cierto tamaño, la fila ya no permite que se formen. Esto último complica la construcción del modelo, por lo que vamos a considerar sistemas que acepten una cantidad infinita de clientes. Para el caso de filas finitas, vamos a utilizar otro modelo dentro de la I .O. llamado: Simulación. Por ejemplo: En teoría suponemos que la cantidad de llamadas que pueden estar en espera en un conmutador es infinita, ya que de otra manera tendríamos que manejar la probabilidad de que al realizar la llamada el conmutador esté saturado. En un verificando el tamaño de la fila puede crecer indefinidamente, sólo está acotado por la decisión del conductor si es que se encuentra dispuesto a esperar o no.

4. Número de estaciones. Es la cantidad de estaciones de servicio que están disponibles. Este número depende de la política de la empresa. Las estaciones pueden estar dispuestas en serie o en paralelo. Por ejemplo: En una empresa dedicada a la manufactura de equipos electrónicos, las estaciones de servicio son las máquinas que añaden componentes a la tarjeta principal (donde se va a armar el circuito), en este caso las estaciones se encuentran en serie y el equipo tiene que pasar por todas antes de abandonar el sistema. En un hospital el número de consultorios con médicos para consulta externa son estaciones de servicio en paralelo, ya que es un cliente por consultorio y después abandona el sistema. En una estación de servicios para automóvil es, las bombas de gasolina son las estaciones de servicio, colocadas en paralelo.

5. Disciplina de la fila. Es la manera como se van a formar las filas y cómo van a ser atendidos los clientes, ésta es también una decisión de la empresa. Usaremos la siguiente nomenclatura para la disciplina de la fila:

FCFS = El primero que llega el primero que se atiende.

LCFS = El último que llega el primero que se atiende.

SIRO = Servicio en orden aleatorio.

GD = Disciplina general (es decir cualquier tipo de disciplina).

Líneas de Espera

Introducción a las líneas de espera.

Definición

Es el efecto resultante en un sistema cuando la demanda de un servicio supera la capacidad de proporcionar dicho servicio. Este sistema está formado por un conjunto de entidades en paralelo que proporcionan un servicio a las transacciones que aleatoriamente entran al sistema. Dependiendo del sistema que se trate, las entidades pueden ser cajeras, máquinas, semáforos, grúas, etcétera, mientras que las transacciones pueden ser: clientes, piezas, autos, barcos, etcétera. Tanto el tiempo de servicio como las entradas al sistema son fenómenos que generalmente tienen asociadas fuentes de variación que se encuentran fuera del control del tomador de decisiones, de tal forma que se hace necesaria la utilización de modelos estocásticos que permitan el estudio de este tipo de sistemas.

Objetivo

El objetivo es determinar qué nivel de servicio, ya sea por cantidad de entidades o por la velocidad de ellas, proporcionar para minimizar el costo total del sistema. Este costo está formado tanto por costo de servicio como por el que causa la espera.

Estructura de un modelo de colas

Los clientes que requieren un servicio se generan en el tiempo en una fuente de entrada. Luego, entran al sistema y se unen a una cola. En determinado momento se selecciona un miembro de la cola para proporcionarle el servicio mediante alguna regla conocida como disciplina de la cola. Se lleva a cabo el servicio que el cliente requiere mediante un mecanismo de servicio, y después el cliente sale del sistema de colas. Se puede comprobar de una manera mas clara en la siguiente figura:

 Fuente de entrada 

Su característica es el tamaño. Llamamos tamaño al número total de clientes que pueden requerir servicio en un determinado momento. Podemos suponer que el tamaño es finito o infinito. Se debe especificar el patrón estadístico mediante el cual se generan los clientes a través del tiempo. Como vimos en la introducción, las llegadas de los clientes suele seguir una distribución de Poisson.

 Cola

La cola es el lugar donde los clientes esperan antes de recibir el servicio. Esta posee dos características principales, en primer lugar la capacidad de la cola, es decir, el numero máximo de clientes que puede llegar a soportar. Esta capacidad puede ser finita o infinita, el supuesto de cola infinita es el estándar en la mayoría de modelos ya que poner un lımite a la cola puede complicar bastante el análisis, solo será necesario el supuesto contrario cuando el lımite de cola sea bastante pequeño y se llegue a el con regularidad. El otro factor determinante de la cola es la disciplina que sigue, que la veremos a continuación.

Disciplina de la cola

La disciplina de la cola se refiere al orden en el que sus miembros se seleccionan para recibir el servicio.

Los modelos más importantes son los siguientes:

• FIFO (First-In-First-Out): se le da servicio al primero que ha llegado, de forma que la cola esta ordenada según el orden de llegada de los usuarios.
• LIFO (Last-In-First-Out): se le da servicio al último que ha llegado, de forma que la cola esta ordenada en orden inverso al de llegada de los usuarios.
• SIRO (Service-In-Random-Order): se sortea aleatoriamente cuál de los usuarios en espera accederá al servicio.

No obstantes, otro procedimiento para establecer la disciplina de la cola puede ser el de establecer determinadas prioridades a los diferentes usuarios según algunas de sus características. En sistemas finitos, en los que el número de usuarios en espera es limitado, es necesario establecer además que sucede con aquellos usuarios que acceden al sistema cuando la cola de espera está completa. Por último, en los sistemas en que los usuarios son humanos, hay que tener en cuenta otros factores propios del comportamiento humano como el hecho de que hay individuos que no respetan el orden establecido en la cola o bien que hay usuarios que, a la vista de la cola, renuncian a acceder al sistema.

Mecanismo de servicio

El mecanismo de servicio consiste en una o más estaciones de servicio, cada una de ellas con uno o más servidores o canales de servicio paralelos, llamados servidores. Los modelos de colas deben especificar el número de servidores. Si el tiempo que tardan los usuarios en salir del sistema es mayor que el intervalo entre llegadas, la cola aumentara indefinidamente y el sistema puede llegar a colapsarse. Por tanto, es necesario diseñar el sistema de forma que el tiempo de servicio sea igual o menor que el intervalo entre llegadas. En esta situación es importante saber cuánto tiempo va a estar un servidor inactivo, tiempo que ha de ser mínimo para optimizar el rendimiento del sistema. No obstante, en la mayoría de los sistemas la duración del servicio es también una magnitud aleatoria. 18 Los modelos más elementales suponen una estación, ya sea con un servidor o con un numero finito de servidores. Se llama tiempo de servicio (o duración del servicio) al tiempo que transcurre desde el inicio del servicio para un cliente hasta su terminación en una estación. Un modelo de un sistema de colas determinado debe especificar la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio de cada servidor (y tal vez de los distintos tipos de clientes), aunque es común suponer la misma distribución para todos los servidores. La distribución del tiempo de servicio que más se usa en la práctica por ser más manejable que cualquier otra es la distribución exponencial. Otras distribuciones de tiempos de servicio importante son la distribución degenerada (tiempos de servicio constante) y la distribución Erlang, ya explicada en el Capítulo 1. En la siguiente ilustración podemos ver un sistema de colas. cada cliente se representa por una C y cada servidor por una S.

Un proceso de colas elemental

La teoría de colas se aplica a muchos tipos diferentes de situaciones. El tipo que mas prevalece es el siguiente: una sola línea de espera (que puede estar vacía en ciertos momentos) se forma frente a una instalación de servicio, dentro de la cual se encuentra uno o más servidores. Cada cliente generado por una fuente de entrada recibe el servicio de unos de los servidores, después de esperar un tiempo en la cola (si la cola esta vacía el tiempo es 0). Un servidor no tiene que ser un solo individuo; puede ser un grupo de personas, por ejemplo, una cuadrilla de reparación que combina fuerzas para realizar, de manera simultánea, el servicio que solicita el cliente. Aun mas, los servidores ni siquiera tienen que ser personas. En muchos casos puede ser una máquina, un vehículo, un dispositivo electrónico, etc. En esta misma línea de ideas, los clientes que conforman la cola no tienen que ser personas. 19 Por ejemplo, pueden ser unidades que esperan ser procesadas en cierto tipo de máquina, o automóviles que deben pasar por una caseta de cobro. En realidad, no es necesario que se forme una línea de espera física delante de una estructura material que constituye la estación de servicio. Los miembros de la cola pueden estar dispersos en un área mientras esperan que el servidor venga a ellos, como las maquinas que esperan reparación. El servidor o grupo de servidores asignados a un área constituyen la estación de servicio de esa área. De todas maneras, la teoría de colas proporciona, entre otros, un numero promedio de clientes en espera (el tiempo promedio de espera), puesto que es irrelevante si los clientes esperan en grupo o no.