Para una única variable independiente X, es un modelo de la forma: o, para simplificar la notación donde ln significa logaritmo neperiano, a0 y a1 son constantes y X una variable que puede ser aleatoria o no, continúa o discreta. Este modelo se puede fácilmente generalizar para k variables independientes:
Por lo tanto a0 es el logaritmo de l (probabilidad de que
ocurra un evento en un intervalo de tamaño unidad) cuando todas las variables
independientes son cero, y ahí es el cambio en el logaritmo de l (o logaritmo
del cociente de l) cuando la variable Xi aumenta una unidad, manteniéndose
constantes las demás o, dicho de otro modo, es la probabilidad de que ocurra un
evento en un intervalo unidad cuando todas las variables independientes son
cero y l el cociente de dicha probabilidad para un aumento de una unidad en la
variable Xi (riesgo relativo).
Obsérvese que, al igual que en la regresión logística, el
modelo supone efectos multiplicativos, es decir, si la variable Xi aumenta n
unidades, la probabilidad para la variable de Poisson se multiplica por es
decir, la potencia n-ésima
Teorema. La esperanza matemática y la varianza de esta
función de distribución está dada por:
E(n)= λ t
V(n)= λ t
La distribución de Poisson es una distribución de
probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia
media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante
cierto periodo de tiempo.
Propiedades
La función de masa de la distribución de Poisson es donde k
es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad
de que el evento suceda precisamente k veces).
λ es un parámetro positivo que representa el número de
veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo,
si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos
interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de
10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.
Modelo Poisson Un servidor.
Cálculos en los modelos de colas
(M/M/1) :(DG /∞/∞). Con la notación del modelo
generalizado se tiene que
µn= µ⅄ {n= ⅄}, n=0, 1, 2,…
También, ⅄n= ⅄ y ⅄perdido=0, porque todos los clientes que llegan, pueden entrar al sistema.
Si P= ⅄µ, la ecuación de Pn en el modelo generalizado se reduce entonces a
Para determinar la P0 se usa la identidad
Suponiendo que p < 1, la serie geométrica tiene la suma
finita de, y entonces La fórmula general de Pn es entonces de la siguiente
distribución geométrica:
La deducción matemática de Pn impone la condición que p < 1 o que ⅄ < µ. Si ⅄ >= µ, la serie geométrica no converge, y no existirán las probabilidades Pn de estado estable. Este resultado tiene sentido, intuitivamente, porque a menos que la tasa de servicios sea mayor que la frecuencia de llegada, la cola crece en forma indefinida.
Modelos Poisson Múltiples servidores.
El modelo de múltiples servidores, los clientes forman una
sola fila y escogen, entre servidores, aquel que esté disponible. El sistema de
servicio tiene una sola fase. Partiremos de las siguientes suposiciones, además
de las que hicimos para el modelo con un solo servidor: tenemos s servidores
idénticos, y la distribución del servicio para cada uno de ellos es
exponencial, con un tiempo medio de servicio iguala 1/µ . Con estas
suposiciones, podemos aplicar varias fórmulas a fin de describir las
características de operación de servicio:
