Investigación de Operaciones : Problemas.

Problemas del método de líneas de espera de un solo canal.

Problema 1

Suponga que en una estación con un solo servidor llegan en promedio 45 clientes por hora, Se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora. Se sabe que los clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola. Se solicita:

Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema.
Número promedio de clientes en la cola.
Número promedio de clientes en el Sistema en un momento dado.

Solución:

λ= 45 clientes/hora (media de llegada de los clientes)= 45/60 clientes/minutos.

µ= 60 clientes/hora (media de servicio a los clientes) = 60/60 clientes/minutos.

Wq = 3 minutos (tiempo promedio de espera de un cliente en la cola).

En promedio un cliente pasa 4 minutos en el Sistema: distribuidos así 3 minutos pasa esperando en la cola + 1 minutos en servicio.

Puede haber más de dos clientes en la cola.

Promedio hay tres clientes en el sistema, como se nos ha dicho que solo hay un servidor, sabemos que solo un cliente puede estar en servicio, por lo que los demás deben estar en la cola. Esto indica que hay dos clientes en espera.

Problema 2

Suponga un restaurante de comidas rápidas al cual llegan en promedio 100 clientes por hora. Se tiene capacidad para atender en promedio a 150 clientes por hora Se sabe que los clientes esperan en promedio 2 minutos en la cola Calcule las medidas de desempeño del sistema.

¿Cuál es la probabilidad que el sistema este ocioso?
¿Cuál es la probabilidad que un cliente llegue y tenga que esperar, porque el sistema está ocupado?
¿Cuál es el número promedio de clientes en la cola?
¿Cuál es la probabilidad que hayan 10 clientes en la cola?

Solución:

λ= 100 clientes/hora (media de llegada de los clientes)= 100/60 clientes/minutos.

µ= 150 clientes/hora (media de servicio a los clientes) = 150/60 clientes/minutos.

Wq = 2 minutos (tiempo promedio de espera de un cliente en la cola).

Este porcentaje representa tiempo que el sistema está ocupado. Es decir (1- ρ) representa el tiempo ocioso del sistema, es decir 1- 0.667= 0.333 = 33.3% el sistema permanece ocioso.

Es decir existe un 22.2% de posibilidad que haya un cliente en la cola esperando ser atendido.

Es decir existe la posibilidad de llegar a tener un promedio de 4 clientes en la línea de espera.

Problema 3

Un promedio de 10 automóviles por hora llegan a un cajero con un solo servidor que proporciona servicio sin que uno descienda del automóvil. Suponga que el tiempo de servicio promedio por cada cliente es 4 minutos, y que tanto los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicios son exponenciales. Conteste las preguntas siguientes:

¿Cuál es la probabilidad que el cajero esté ocioso?
¿Cuál es el número promedio de automóviles que están en la cola del cajero? (se considera que un automóvil que está siendo atendido no está en la cola esperando)
¿Cuál es la cantidad promedio de tiempo que un cliente pasa en el estacionamiento del banco, (incluyendo el tiempo de servicio)?
¿Cuántos clientes atenderá en promedio el cajero por hora?

Solución:

λ= 10 clientes/hora (media de llegada de los clientes) = 1/6 clientes/minutos

µ= 1 clientes/4minutos (media de servicio de los clientes)=1/4 cliente/minuto

Si el cajero siempre estuviera ocupado, atendería un promedio de μ=15 clientes por hora. Según la solución encontrada en el inciso a (1/4*60=15), el cajero está ocupado 2/3 del tiempo. Por tanto dentro de cada hora, el cajero atenderá un promedio de (2/3)(15)= 10 clientes. Esto es ρ*µ= 2/3 * 15 = 10 clientes.

Problema 4

Un lava carro puede atender un auto cada 5 minutos y la tasa media de llegadas es de 9 autos por hora. Obtenga:

Las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1. Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema.
La probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes.

Solución:

λ= 9 clientes/hora (media de servicio a los clientes) = 0.15 clientes/minutos

µ= 0.2 clientes/minutos (media de llegada de los clientes)

Calcular el factor de desempeño del sistema calculando ρ.

El sistema está ocupado el 75% del tiempo. O sea pasa un 25% ocioso. Es decir la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema es cuando el sistema está vacío y eso puede ocurrir con una probabilidad del 25%.

La probabilidad que haya más de tres clientes en el Sistema, implica que debemos conocer la Probabilidad que haya cero, uno, dos y tres clientes. La diferencia con 1. Será la probabilidad que hayan más de tres. P(Ls>3)=1 – (P 0 + P1 + P2 + P3 )= 1- (0.25+0.1875+0.1406+0.1055)=1- 0.6836=0.3164.

Problemas del método de líneas de espera multicanales.

Problema 1

La gerencia del correo internacional DHL en la central del barrio de Mataderos, Buenos Aires, está preocupada por la cantidad de tiempo que los camiones de la compañía permanecen ociosos, en espera de ser descargados. Esta terminal de carga funciona con cuatro plataformas de descarga. Cada una de éstas requiere una cuadrilla de dos empleados, y cada cuadrilla cuesta $30 por hora. El costo estimado de un camión ocioso es de $50 por hora. Los camiones llegan a un ritmo promedio de tres por hora, siguiendo una distribución de Poisson. En promedio, una cuadrilla es capaz de descargar un semirremolque en una hora, y los tiempos de servicio son exponenciales. ¿Cuál es el costo total por hora de la operación de este sistema?.

Solución:

La utilización promedio de las cuatro plataformas es:

Para este nivel de utilización, ahora podemos calcular la probabilidad de que no haya ningún camión en el sistema.

El número promedio de camiones en la fila es:

El tiempo promedio de espera en la fila es:

El tiempo promedio transcurrido en el sistema es:

Por último, el número promedio de camiones en el sistema es:

Ahora podemos calcular los costos por hora correspondientes a mano de obra y camiones ociosos:

Problema 2

Considere una línea de espera con dos canales con llegadas POISSON y tiempos de servicio exponenciales. La tasa media de llegadas es de 14 unidades por hora y la tasa media de servicio es de 10 unidades por hora para cada canal.

¿Cuál es la probabilidad de que no haya unidades en el sistema?
¿Cuál es la cantidad de unidades promedio en espera?
¿Cuál es el tiempo promedio que espera una unidad por el servicio?

Solución:

Problema 3

Una sucursal bancaria estima que la tasa de llegada de clientes (siguiendo una distribución de Poisson) es de 30 clientes/hora. En el momento de observación del fenómeno a estudiar hay solo una ventanilla abierta al público y el tiempo de servicio está distribuido exponencialmente con media 115 sg/cliente. Determinar:

a) Número medio de clientes en el sistema y número medio de clientes en espera.

b) Tiempo medio de espera y tiempo medio de permanencia en la sucursal.

c) Ante la vista de los resultados en los apartados anteriores se decide abrir una segunda ventanilla al público. Repita los cálculos realizados.

Solución:

Problema 4

Un cyber-café mantiene 8 terminales disponibles durante 8 horas al día. Se considera que llegan al local (siguiendo un proceso de Poisson) una media de 24 clientes diarios y el tiempo medio de servicio (distribución exponencial) es de 4 horas. Cuando un cliente encuentra todos los puestos ocupados, abandona el local.
a) Calcular la probabilidad de que estén los 8 puestos ocupados. Calcular la probabilidad de que al llegar un nuevo cliente tenga algún sitio disponible.

b) ¿Número mínimo de máquinas para que la probabilidad de que un cliente abandone el local (todos puestos ocupados) no sea superior al 10 %?

c) Conteste de nuevo a los apartados anteriores si el tiempo medio de servicio se reduce a la mitad.

Solución: